{"resource_id":5052,"title":"九章算术","format":"md","encoding":"utf-8","chapters":[{"id":"chapter-1","title":"九章算術 漢 張蒼","sections":[{"id":"chapter-1-section-1","title":"正文","paragraphs":["昔在庖犠氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之數，以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子；雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方；至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。《周官大司徒》職，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，謂之地中。說雲，南戴日下萬五千裡。夫云爾者，以術推之。案：《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之時。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為句率，日去人之數為大股，大股之句即日徑也。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之於志，以闡世術之美，輒造《重差》，併為註解，以究古人之意，綴於句股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入，博物君子，詳而覽焉。"]},{"id":"chapter-1-section-2","title":"卷一","paragraphs":[]},{"id":"chapter-1-section-3","title":"○方田（以御田疇界域）","paragraphs":["今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。","又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。","〔圖：從十四，廣十二。〕","方田術曰：廣從步數相乘得積步。","〔此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪。","淳風等按：經雲廣從相乘得積步，注云廣從相乘謂之冪。觀斯注意，積冪義同。以理推之，固當不爾。何則？冪是方面單布之名，積乃眾數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據廣從之一方；其言積者舉眾步之都數。經雲相乘得積步，即是都數之明文。注云謂之為冪，全乖積步之本意。此注前雲積為田冪，於理得通。復雲謂之為冪，繁而不當。今者註釋，存善去非，略為料簡，遺諸後學。〕","以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。","〔淳風等按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。餘術不復言者，從此可知。一畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，則每行廣一步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方，凡有二百四十步。一畝之地，步數正同。以此言之，則廣從相乘得積步，驗矣。","二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。〕","今有田廣一里，從一里。問為田幾何？答曰：三頃七十五畝。","又有田廣二里，從三里。問為田幾何？答曰：二十二頃五十畝。","裡田術曰：廣從裡數相乘得積裡。以三百七十五乘之，即畝數。","〔按：此術廣從裡數相乘得積裡。方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。〕","今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。","又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。"]},{"id":"chapter-1-section-4","title":"○約分","paragraphs":["〔按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之；分之為數，繁則難用。","設有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也，雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，動有參差，故為術者先治諸分。〕","術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。","〔等數約之，即除也。其所以相減者，皆等數之重疊，故以等數約之。〕","今有三分之一，五分之二，問合之得幾何？答曰：十五分之十一。","又有三分之二，七分之四，九分之五，問合之得幾何？答曰：得一、六十三分之五十。","又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，問合之得幾何？答曰：得二、六十分之四十三。"]},{"id":"chapter-1-section-5","title":"○合分","paragraphs":["〔淳風等按：合分知，數非一端，分無定準，諸分子雜互，群母參差。粗細既殊，理難從一，故齊其眾分，同其群母，令可相併，故曰合分。〕","術曰：母互乘子，並以為實。母相乘為法。","〔母互乘子。約而言之者，其分粗；繁而言之者，其分細。雖則粗細有殊，然其實一也。眾分錯雜，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可並也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，物以群分。數同類者無遠；數異類者無近。遠而通體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。然則齊同之術要矣：錯綜度數，動之斯諧，其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎？其一術者，可令母除為率，率乘子為齊。〕","實如法而一。不滿法者，以法命之。","〔今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得知，所謂同法為母，實餘為子，皆從此例。〕","其母同者，直相從之。","今有九分之八，減其五分之一，問餘幾何？答曰：四十五分之三十一。","又有四分之三，減其三分之一，問餘幾何？答曰：十二分之五。"]},{"id":"chapter-1-section-6","title":"○減分","paragraphs":["〔淳風等按：諸分子、母數各不同，以少減多，欲知餘幾，減餘為實，故曰減分。〕","術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。實如法而一。","〔母互乘子知，以齊其子也。以少減多知，齊故可相減也。母相乘為法者，同其母也。母同子齊，故如母而一，即得。〕","今有八分之五，二十五分之十六，問孰多？多幾何？答曰：二十五分之十"]}]}],"toc":[{"id":"chapter-1-section-1","chapter_title":"九章算術 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張蒼\n昔在庖犠氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之數，以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子；雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方；至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。《周官大司徒》職，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，謂之地中。說雲，南戴日下萬五千裡。夫云爾者，以術推之。案：《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之時。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為句率，日去人之數為大股，大股之句即日徑也。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以為今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之於志，以闡世術之美，輒造《重差》，併為註解，以究古人之意，綴於句股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入，博物君子，詳而覽焉。\n## 卷一\n## ○方田（以御田疇界域）\n今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。\n又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。\n〔圖：從十四，廣十二。〕\n方田術曰：廣從步數相乘得積步。\n〔此積謂田冪。凡廣從相乘謂之冪。\n淳風等按：經雲廣從相乘得積步，注云廣從相乘謂之冪。觀斯注意，積冪義同。以理推之，固當不爾。何則？冪是方面單布之名，積乃眾數聚居之稱。循名責實，二者全殊。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據廣從之一方；其言積者舉眾步之都數。經雲相乘得積步，即是都數之明文。注云謂之為冪，全乖積步之本意。此注前雲積為田冪，於理得通。復雲謂之為冪，繁而不當。今者註釋，存善去非，略為料簡，遺諸後學。〕\n以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。\n〔淳風等按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。餘術不復言者，從此可知。一畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，則每行廣一步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方，凡有二百四十步。一畝之地，步數正同。以此言之，則廣從相乘得積步，驗矣。\n二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。〕\n今有田廣一里，從一里。問為田幾何？答曰：三頃七十五畝。\n又有田廣二里，從三里。問為田幾何？答曰：二十二頃五十畝。\n裡田術曰：廣從裡數相乘得積裡。以三百七十五乘之，即畝數。\n〔按：此術廣從裡數相乘得積裡。方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得畝數也。〕\n今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。\n又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。\n## ○約分\n〔按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之；分之為數，繁則難用。\n設有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也，雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推，動有參差，故為術者先治諸分。〕\n術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。\n〔等數約之，即除也。其所以相減者，皆等數之重疊，故以等數約之。〕\n今有三分之一，五分之二，問合之得幾何？答曰：十五分之十一。\n又有三分之二，七分之四，九分之五，問合之得幾何？答曰：得一、六十三分之五十。\n又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，問合之得幾何？答曰：得二、六十分之四十三。\n## ○合分\n〔淳風等按：合分知，數非一端，分無定準，諸分子雜互，群母參差。粗細既殊，理難從一，故齊其眾分，同其群母，令可相併，故曰合分。〕\n術曰：母互乘子，並以為實。母相乘為法。\n〔母互乘子。約而言之者，其分粗；繁而言之者，其分細。雖則粗細有殊，然其實一也。眾分錯雜，非細不會。乘而散之，所以通之。通之則可並也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也。方以類聚，物以群分。數同類者無遠；數異類者無近。遠而通體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。然則齊同之術要矣：錯綜度數，動之斯諧，其猶佩觿解結，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎？其一術者，可令母除為率，率乘子為齊。〕\n實如法而一。不滿法者，以法命之。\n〔今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得知，所謂同法為母，實餘為子，皆從此例。〕\n其母同者，直相從之。\n今有九分之八，減其五分之一，問餘幾何？答曰：四十五分之三十一。\n又有四分之三，減其三分之一，問餘幾何？答曰：十二分之五。\n## ○減分\n〔淳風等按：諸分子、母數各不同，以少減多，欲知餘幾，減餘為實，故曰減分。〕\n術曰：母互乘子，以少減多，餘為實。母相乘為法。實如法而一。\n〔母互乘子知，以齊其子也。以少減多知，齊故可相減也。母相乘為法者，同其母也。母同子齊，故如母而一，即得。〕\n今有八分之五，二十五分之十六，問孰多？多幾何？答曰：二十五分之十","is_preview":true,"preview_page_limit":10}